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Die tissotsche Indikatrix

Orthographic Tissot

Die tissotsche Indikatix ist eine Methode, um Verzerrungen auf Kartenprojektionen zu visualisieren. Sie wurde 1859 vom französischen Mathematiker Nicolas Auguste Tissot vorgestellt.

Man stelle sich vor, da kommt jemand mit einem großen Farbeimer daher (einem riesigen Farbeimer!) und malt in regelmäßigen Abständen gleich große Kreise auf die Erdoberfläche. Wenn er fertig ist, sieht die Erde aus dem All betrachtet in etwa so aus wie in der Grafik rechts.

Wenn man die Oberfläche der bemalten Erde nun auf eine platte Karte projiziert, werden sich die Kreise verformen. Aber sie werden, je nach Projektion, auf unterschiedliche Weise verformt. Schauen wir uns das am Beispiel der Mercator-Projektion an:

Mercator Tissot

Die Kreise sind alle kreisrund geblieben, werden aber zu den Polen hin immer größer.
Und genau das ist charakteristisch für Mercators Entwurf: Er verzerrt die Größenverhältnisse, aber nicht die (lokalen) Formen.
(Übrigens, auf YouTube gibt es ein sehr schönes Video namens Visualisierung der Mercatorprojektion, bei dem man deutlich sehen kann, wie es zu diesen Verzerrungen kommt.)

Im Gegensatz dazu sehen wir uns mal einen flächentreuen Entwurf an, nämlich Wagner IV:

Wagner 4 Tissot

Hier sind die roten Punkte alle gleich groß (sie haben den gleichen Flächeninhalt), aber ach, dafür sind sie keine Kreise mehr, sie sind zu Ovalen geworden!
Der einzigen Punkte, die beinahe ein Kreis geblieben sind, befindet sich auf der Schnittstelle von 40° Nord/Süd und dem Mittelmeridian – in der nördlichen Hemisphäre ist das der Punkt über Frankreich und Nordostspanien. (Einen exakten Kreis würde man auf 42°59´ Nord/Süd finden.)

Und das ist eben für eine flächentreue Projektion typisch: Es werden nur Formen verzerrt, aber keine Größenverhältnisse. Die tissotsche Indikatix ist also ein Hilfsmittel, um auf einen Blick zu zeigen, welche Art von Verzerrungen in welcher Region der Kartenprojektion zu finden sind.

 

Manchmal aber ist es auch gar nicht so einfach, die Informationen der Tissotschen Indikatix tatsächlich »auf einen Blick« zu entschlüsseln. Was ich damit meine, will ich am Beispiel der Hammerschen Projektion zeigen:

Hammer Tissot Klein

Ein exakter Kreis befindet sich hier am Schnittpunkt von Äquator und Mittelmeridian. Was aber ist mit dem Punkt bei Alaska (60° Nord, 150° West)? Dass er zu einem Oval verzerrt wurde, sieht man sofort. Aber hat dieses Oval die gleiche Größe, also den gleichen Flächeninhalt, wie der genannte exakte Kreis? Rein nach Augenmaß kann ich das nicht beurteilen.

Hammer Tissot Equator Hammer Tissot Alaska

Falls mir bekannt ist, dass die Hammersche Projektion flächentreu ist, muss ich das ja auch nicht nach Augenmaß beurteilen. In diesem Fall werden die Größenverhältnisse ohnehin nicht verzerrt, ich will mich also nur über die Formverzerrung informieren – und dabei hilft mit die Tissotsche Indikatix dann auch. Aber wenn ich nicht weiß, dass der Hammer flächentreu ist – dann hilft mir die Tissotsche Indikatix nur bedingt.

Es gibt eine andere Methode, die Verzerrung eines Kartennetzentwurfs zu visualisieren, welche ohne diesen Nachteil auskommt. Sie ist auf den Verzerrungsgrafiken von mapthematics.com zu sehen:
Je heller die Farbe, desto geringere Verzerrungen. Je dunkler das Rot, desto stärker fällt die Verzerrung der Formen aus.
Je dunkler das Grün, desto stärker fällt die Verzerrung der Größenverhältnisse aus.
Mercator-Projektion auf mapthematics.com
Wagner IV auf mapthematics.com
Hammer-Projection auf mapthematics.com

Unglücklicherweise kann ich Grafiken nicht selbst erzeugen, weil mir die dafür notwendige Software fehlt. Also musste ich mich beim Vergleich der Entwürfe mit der tissotschen Indikatix begnügen.

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